Autouristi.ru

Советы юристов

Правило сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями

Сложение обыкновенных дробей: правила, примеры, решения

Выполните сложение обыкновенных дробей 15/62 и 140/62 .

Очевидно, дробь 5/2 неправильная. Выполнив выделение целой части из неправильной дроби 5/2 , получаем .

Пусть на тарелку положили три восьмых доли яблока и после этого еще две восьмых доли такого же яблока. Эти действия можно описать так: 3/8+2/8 . В результате на тарелке оказалось 3+2=5 восьмых долей яблока, то есть, 5/8 . Таким образом, сложение обыкновенных дробей 3/8 и 2/8 дает обыкновенную дробь 5/8 .

Рассмотрим решение одного из предыдущих примеров в этом свете.

Сложите четыре обыкновенные дроби 5/12 , 13/12 , 1/12 и 1/12 .

Проведем сложение дробей с одинаковыми знаменателями: .

Свойства сложения позволяют провести следующую группировку слагаемых: . Сумма трех натуральных чисел в скобках равна 14 , а сумма равна дроби 11/12 . Таким образом, .

Сложение дробей

Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют тот же.

C помощью букв это правило сложения можно записать так:

При сложении дробей могут встретиться разные случаи.

  1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.

Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.

НОК (15, 18) = 3 · 2 · 3 · 5 = 90

  1. Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1) делим по очереди на знаменатель каждой дроби.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями можно только тогда, когда в процессе вычисления дроби приведены к одному общему знаменателю.

Внимание! Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить. Неправильную дробь желательно перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, — это неоконченное решение примера!

Числители заданных дробей умножаются на свои дополнительные множители, получаются числители дробей с единым общим знаменателем. Знаки действий («+» или «-») в записи дробей, приводимых к общему знаменателю, сохраняются перед каждой дробью. У дробей с общим знаменателем знаки действий сохраняются перед каждым приведенным числителем.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей.

Только теперь можно сложить или вычесть числители и подписать под результатом общий знаменатель.

К числителям заданных дробей нужно поставить дополнительные множители, равные отношению НОК и соответствующего знаменателя.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Правило. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Правило сложения обыкновенных дробей с разными знаменателями

IV. Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

5. Замените звездочку числом, чтобы получилось верное равенство.

1. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти НОК знаменателей данных дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей и найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби:

V. При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.

3. На координатном луче меньшая дробь изображается левее большей дроби, а большая дробь изображается . меньшей дроби.

Важно: не начинайте выполнять вычитание, пока не приведете дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) и не убедитесь, что из числителя первой дроби можно вычесть числитель второй дроби. А если нельзя вычесть?

4. Запишите в порядке возрастания дроби:

Вычитание дробей с разными знаменателями

Рассмотрим первую дробь — 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

  • 2/3 – в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
    2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
  • 7/9 или 7/(3 х 3) – в знаменателе не хватает двойки:
    7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
  • 5/6 или 5/(2 х 3) – в знаменателе не хватает тройки:
    5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.

Аналогично производится и сложение дробей, имеющих различные знаменатели.

Сложение и вычитание дробей

В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

  1. Плюс на минус дает минус;
  2. Минус на минус дает плюс.

Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

Умножение простых и смешанных дробей с разными знаменателями

В примере используется умножение числа на обыкновенную дробную часть, записать правило для этого действия можно формулой:

Наряду с простыми дробными числами, существует понятие смешанных дробей. Смешанное число состоит из целого числа и дробной части, то есть является суммой этих чисел:

a b c = a * b + c / c, где знаменатель новой дроби образуется при умножении целой части со знаменателем и при сложении его с числителем исходного дробного остатка, а знаменатель остается прежним.

Существует еще один вариант решения умножения числа на дробный остаток. Стоит просто разделить знаменатель на это число:

Умножение неправильных дробей производят общепринятым способом. Когда запись идет под единой дробной чертой, по мере необходимости нужно сделать сокращение дробей, чтобы уменьшить таким методом числа и проще посчитать результат.

Стоит рассмотреть умножение дробей с разными знаменателями на примерах:

Этот процесс работает и в обратную сторону. Для выделения целой части и дробного остатка нужно поделить числитель неправильной дроби на ее знаменатель «уголком».

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями (основные правила, простейшие случаи)

Рассмотрим теперь сложение алгебраических дробей с разными знаменателями. Сначала рассмотрим дроби, знаменатели которых являются числами.

  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

; . Тогда в НОК чисел должны входить две двойки и две тройки: .

Рассмотрим теперь пример, в котором складываются не две, а три дроби (ведь правила сложения и вычитания для большего количества дробей остаются такими же).

Вообще, при решении подобных примеров, наиболее сложным заданием является нахождение общего знаменателя.

Рассмотрим теперь пример с дробями, в знаменателе которых присутствуют буквенные выражения.

4. Сложить или вычесть дроби, пользуясь правилами сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание дробей

При вычитании смешанных чисел отдельно из целой части вычитают целую часть, а из дробной части вычитают дробную часть.

Так как у дробных частей разные знаменатели, то как и во втором случае, вначале приведём обыкновенные дроби к общему знаменателю.

В этом случае вначале нужно привести к общему знаменателю дробные части, а затем выполнить вычитание целой части из целой, а дробной из дробной.

Для этого занимаем единицу в натуральном числе и представляем её в виде неправильной дроби, знаменатель которой равен знаменателю вычитаемой дроби.

Знаменатель вычитаемой дроби равен 7 , значит, единицу представляют как неправильную дробь

При вычитании дробей, как и при сложении, могут встретиться несколько случаев.

Дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

Как складывать дроби с разными знаменателями

2) 48:16=3, 48:12=4. Это — дополнительные множители к каждой дроби.

1) 8 на 6 не делится. 8∙2=16 на 6 не делится. 8∙3=24 делится и на 4, и на 6. Значит, 24 — это и есть НОЗ.

2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель поделить на старый: 60:20=3, 60:30=2.

1) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, сначала ищем наименьший общий знаменатель. 16 на 12 не делится. 16∙2=32 на 12 не делится. 16∙3=48 на 12 делится. Значит, 48 — НОЗ.

2) Чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, надо новый знаменатель разделить на старый. 100:25=4, 100:20=5. Соответственно, к первой дроби дополнительный множитель 4, ко второй — 5.

Чтобы понять, как складывать дроби с разными знаменателями, сначала изучим правило, а затем рассмотрим конкретные примеры.

2) чтобы найти дополнительный множитель к каждой дроби, нужно новый знаменатель разделить на старый. 24:8=3, 24:4=6, 24:6=4. Значит, 3, 6 и 4 — дополнительные множители к первой, второй и третьей дроби.

Смотрите еще:

  • Отработка после увольнения по собственному желанию Как считать две недели отработки при увольнении Кроме того, в некоторых случаях работодатель и вовсе должен уволить работника в тот день, который он указал в своем заявлении без каких-либо отработок. Это относится к увольняющимся: В […]
  • Размер пенсии по старости с 1 февраля 2018 года Кому повышают пенсию с 1 апреля 2018 В совокупности индексация не должна быть ниже инфляции за прошлый год. Социальную пенсию платят нетрудоспособным гражданам, у которых нет достаточного трудового стажа, поэтому они не имеют права на […]
  • Депозиты в налоге на прибыль Финансовое право налогоплательщик; объект налогообложения (ст. 38 НК РФ); налоговая база (ст. 53 НК РФ); налоговый период (ст. 55 НК РФ); налоговая ставка (ст. 53 НК РФ); порядок исчисления налога (ст. 52 НК РФ); порядок и […]
  • Закон 112 от 07072003 Федеральный закон от 7 июля 2003 г Реализация гражданами, ведущими личное подсобное хозяйство, сельскохозяйственной продукции, произведенной и переработанной при ведении личного подсобного хозяйства, не является предпринимательской […]
  • На сколько процентов будет повышена пенсия в феврале 2018 года Стоимость индивидуального пенсионного коэффициента Положениями, содержащимися в статье 15 вышеуказанного закона, установлен новый порядок расчета пенсии с использованием в качестве расчетной единицы индивидуальный пенсионный коэффициент […]
  • Правила исчисления периодов работы 2018 Постановление Правительства РФ от 11 июля 2002 г О процедуре установления тождества профессий, должностей и организаций (структурных подразделений) см. информационное письмо Минтруда РФ, Минобразования РФ, Минздрава РФ, Минкультуры РФ и […]