Autouristi.ru

Советы юристов

Комбинаторные задачи правило суммы и произведения

Комбинаторные задачи правило суммы и произведения

Решение. Зашифруем каждую покупку 8 пирожных единицами по 5 сортам, разделяя сорта нулями. Тогда каждой покупке будет соответствовать упорядоченный набор из 8 единиц и 4 (= 5 — 1) разделительных нулей, а общее число покупок будет соответствовать числу перестановок этих нулей и единиц . Таким образом,

Решение. Поскольку важен порядок, с какого языка задается перевод на другой, то для ответа на вопрос необходимо найти число размещений из пяти по два.

Правило произведения. Если объект можно выбрать способами, а после каждого такого выбора другой объект можно выбрать (независимо от выбора объекта способами, то пары объектов и можно выбрать способами.

Решение. Поскольку в двузначном числе цифра, обозначающая число десятков, должна быть отлична от нуля, то = <1, 2, . 9>, = <0, 1, 2, . 9>и

Число размещений из элементов по с повторениями обозначается и находится как

Выборки из элементов, взятых из данных , отличающихся только составом элементов, называются сочетаниями из элементов по . Число таких сочетаний находится

II 17. В азбуке Морзе буквы представляются последовательностями тире и точек. Сколько символов потребуется, чтобы закодировать буквы русского алфавита?

Комбинаторные задачи правило суммы и произведения

Правила сложения и умножения в комбинаторике

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

Как решать задачи по комбинаторике

Есть 5 книг. Сколькими способами их можно расположить на книжной полке?
Ответ – 120 способов. Первую книгу можем выбрать 5 способами, вторую книгу 4 способами и т.д. Перемножая числа с 5 до 1, получим 120.

Возможно, это правило покажется непосвященному человеку абракадаброй, но ничего сложного нет. Рассмотрим пример – пусть в одном ящике есть $m$ шариков, а во втором ящике – $n$ шариков. Сколькими способами можно вытащить шарик из одного этих ящиков. Очевидно, что ОДИН шарик можно достать $m+n$ способами.

Готовые решения задач по теории вероятностей, в том числе по комбинаторике — более 400 решений. Найди свою задачу:

Это были главные правила, на которые опираются все методы решения задач по комбинаторике. Еще больше теории о началах комбинаторики вы найдете в онлайн учебнике: Элементы комбинаторики онлайн.

Правило сложения: Пусть объект А мы можем выбрать из множества $m$ способами, а объект В можно выбрать $n$ способами, то объект «А+В» можно выбрать $m+n$ способами.

Теория комбинаторики зиждется на двух основных принципах – это правило сложения и правило умножения. Рассмотрим их подробнее.

Перейдем к более продвинутым случаям и рассмотрим другие понятия комбинаторики.

Комбинаторные задачи правило суммы и произведения

2) Правило произведения. Пусть объект Х может быть выбран n способами и после каждого такого выбора объект Y может быть выбран m способами. Тогда пара « Х и Y » может быть выбрана способами.

Решение. В этом примере правило суммы не работает , так как способы выбора объектов X и Y совместны: один из способов выбора объекта X совпадает с одним из способов выбора объекта Y (выбор червового туза – это и способ выбора объекта X , и способ выбора объекта Y ).

Пример 3. На книжной полке стоит 3 учебника по математике, 4 детектива, 2 задачника по теории вероятностей, 3 любовных романа, 2 сборника стихов и справочник по математике. Сколькими разными способами можно выбрать почитать художественную книгу?

Правило суммы может быть применено к любому конечному числу объектов.

Пример 2. Пусть есть колода карт (36 листов). Объект Х – карта червовой масти – может быть выбран 9-ю разными способами. Объект Y – туз – может быть выбран 4-мя разными способами. Сколькими способами может быть выбран объект « Х или Y » – «червовая карта или туз»?

Пример 1. Сколькими разными способами можно заказать напиток в кафе, где есть 8 видов сока и 5 видов минеральной воды?

Решение. Художественная книга – это или детектив (объект X ), или роман (объект Y ), или сборник стихов (объект Z ). Детектив можно выбрать 4-мя разными способами, роман – тремя, сборник стихов – двумя. Способы выбора несовместны, так как книг смешанного жанра нет. Тогда, применяя правило суммы к трём объектам, получаем, что художественную книгу, то есть объект « X или Y , или Z », можно выбрать 4+3+2=9-ю способами.

Комбинаторные задачи правило суммы и произведения

Решение задачи может быть более наглядным, если составить схему, изображенную на рисунке 7. Здесь римские цифры — номера путей из а арабские — номера путей из

(2 коня, 2 слона у 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?

Эту задачу тоже можно решить по правилу произведения. Перчатка на левую руку может быть выбрана шестью способами. После того как она выбрана, перчатку на правую руку можно выбрать лишь пятью способами (размеры перчаток должны быть разными). Поэтому всего имеем способов выбора.

2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «полка»?

Каждый путь искомого вида задается парой где а — один из путей, соединяющих один из путей, соединяющих Так как по условию а можно выбрать пятью способами, тремя способами, то пару можно по правилу произведения выбрать способами.

Поставим каждому числу от 1 до 15 в соответствие номер лузы, в которую положен шар, номер шара равен этому числу. Получим кортеж длины 15, составленный из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (номеров луз). Число таких кортежей равно 615.

6. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? В скольких случаях окажется ровно один туз? В скольких случаях — ровно 4 туза?

Правило суммы произведения

Правило подсчета числа элементов объединения непересекающихся конечных множеств носит название в комбинаторике правила суммы: если элемент х можно выбрать k способами, а элемент y – m способами, причем ни один из способов выбора элемента х не совпадает со способом выбора элемента y, то выбор «х или y» можно осуществить k+m способами.

Задача 4. Пусть число дождливых дней равно 12, ветреных – 8, холодных – 4, дождливых и ветреных – 5, дождливых и холодных – 3, ветреных и холодных – 2 . Наконец, дождливых, ветреных и холодных – 1.

Так как множество А содержит 5 элементов (n(A)=5)), то декартово произведение А А содержит 5 5 элементов: n(А А) = 5 5= 25 пар. Значит, декартово произведение А А содержит 25 элементов.

Правило суммы распространяется не только на два множества. Так, например, пусть даны непересекающиеся множества А, В, С. Тогда

Речь идет о выборе «яблоко или груша» из множества плодов. Поэтому используем правило суммы: 11+5=16. Значит, один плод можно выбрать 16 способами.

Решение: Цифры в записи числа могут повторяться и не повторяться. Рассмотрим первый случай. Тогда первую цифру в записи числа можно выбрать тремя способами (это может быть любая из данных цифр), вторую – также тремя и третью – тремя способами. Используя правило произведения, получаем: 3 3 3=27 чисел. Во втором случае – первую цифру можно выбрать тремя способами, вторую двумя (так как цифры не должны повторяться) и третью – одним способом. В этом случае таких чисел будет равно 3 2 1=6.

Решение: обозначим множество студентов, изучающих немецкий язык через N, а множество студентов, изучающих английский – через А, множество всех студентов – через С. Тогда n(N)=20, n(A)=15, n(С)=50.

Урок алгебры — Решение комбинаторных задач

Опять правило произведения. 6*5*4*3 = 360.

Вступительное слово учителя (постановка проблемы урока):

Такие комбинации называются перестановками.

Элементарными комбинаторными задачами являются задачи на перестановки, размещения и сочетания двух видов без повторения (без возвращения), и в повторением (возвращением).

Задача. Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если Олег и Игорь должны стоять рядом.[25] (Решают, обсуждая в группах)

Особенности составления команды: 1) Не все элементы (спортсменки); 2) Важен порядок.

Тип урока: изучение нового материала и его первичное закрепление.

Правила суммы и произведения

Задача 2. Решение. Рассуждая также, как при решении задачи 1, по правилу суммы получим 8 способов выбора одной книги из предложенных.

Решение. Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру разряда сотен можно выбрать пятью способами; выбор цифры десятков можно осуществить шестью способами, выбрать цифру единиц из данных шести также можно шестью способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что всего трехзначных чисел (из данных шести цифр) можно образовать 5•6•6=300(чисел).

Решение. Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру разряда сотен можно выбрать пятью способами; выбор цифры десятков можно осуществить также пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести данных цифр будет уже использована для записи сотен; После выбора двух цифр (для записи сотен и десятков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что всего трехзначных чисел (из данных шести цифр) можно образовать 100: 5•5•4=100(чисел).

А из слова «микрон» выбор можно сделать 4∙2=8 (способами).

Задача 2. В книжном магазине «Феникс» имеется 5 книг о Гарри Поттере и 3 книги из серии «Властелин колец». Сколькими способами можно выбрать одну книгу?

 Перенумеруем элементы множества А и для каждого подмножества множества А построим последовательность длины n из нулей и единиц по следующему правилу: на k – м месте пишем 1, если элемент с номером k входит в подмножество, и 0, если элемент с номером k не входит в подмножество. Итак, каждому подмножеству соответствует своя последовательность нулей и единиц. Число всех возможных последовательностей длины n, составленных из нулей и единиц, равно, согласно правилу произведения: 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2=2 .

Мы можем решить ранее предложенные задачи, используя правило суммы.

Примеры решений задач по комбинаторике

Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой — 6 мужчинам, по третьей — 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?

Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Комбинаторика — это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать 3 дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв. В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).

Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

Ниже вы найдете несколько примеров задач с решениями на комбинаторные понятия и правила, которые позволят разобраться с типовыми заданиями. Если есть трудности с задачами — заказывайте контрольную по комбинаторике.

Смотрите еще:

  • Правила написания ча of чу щу Написание сочетаний жи, ши, ча, ща, чу, щу 1. Я учусь в первом классе. 2. Чижи живут в лесу. 3. Ребята ищут шишки. 4. На клумбе росли душистые цветы. 5. Никогда не бери чужие вещи. 6. Бабушка угощает нас пирогом. 7. У жирафа длинная шея. […]
  • Выплаты пособий из бюджета Перечень документов, необходимых для назначения и выплаты пособий Если получателем пособия на погребение пропущен срок обращения к страхователю за выплатой социального пособия на погребение, установленный статьей 10 Федерального закона от […]
  • Апелляционная жалоба омск Апелляционная жалоба омск Исковое заявление ТСЖ "Маркса, 17" определением от 17 ноября 2010 года оставлено без движения. Суд указал, что "истец обратился в суд с иском, в котором объединены три взаимосвязанных требования неимущественного […]
  • Федерального реестра сметных нормативов Информация по ТСНБ Сборник дополнений и изменений в территориальные единичные расценки на строительные и специальные строительные работы содержат изменения общих положений, изменений и дополнений к расценкам, в том числе 49 измененных […]
  • Гольяново мировой суд Мировые судьи (Останкинский суд), Марьина Роща, с Судебная экспертиза - это процесс проведения исследований. На основании этих исследований - эксперт выносит заключение по таким вопросам, в которых требуются знания специалиста в области […]
  • Статье 119 федерального закона Федеральный закон от 1 мая 2016 г Части 5 и 6 статьи 2, части 16, 22 и 23 статьи 8, статья 9 и часть 1 статьи 10 настоящего Федерального закона действуют до 1 января 2040 г. Части 1 - 4 статьи 2, статья 4, части 1 - 8 статьи 5, статьи 6 и […]